KHÔNG THỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VỚI CĂN THỰC ?
Ta biết rằng có thể giải được phương trình tổng quát bậc ba bằng căn thức bằng cách sử dụng số ảo. Tuy nhiên câu hỏi đặt ra là có thể giải được mọi phương trình bậc ba mà nghiệm của nó không chứa số ảo trong công thức không ? Câu trả lời là không thể ! Các bạn tìm hiểu vấn đề này qua bài toán sau:
Chứng minh : Không thể giải được phương trình tổng quát bậc ba bằng căn thức trên tập số thực R
Lời giải
Ta có phương trình bậc ba x3 -3x + 1 = 0 có ba nghiệm thực phân biệt và ta không thể nào biểu diễn dược các nghiệm thực này dưới dạng đại số mà không có chứa số ảo dưới căn.
Thật vậy với phương trình bậc ba x^3 – 3x + 1 = 0. Dễ thấy phương trình này có ba nghiệm thực phân biệt vì nếu đặt f(x) = x^3 – 3x + 1 thì ta có f(-2) = -1 < 0; f(0) = 1 > 0 ; f(1) = -1 < 0 ; f(2) = 3 > 0 nên phương trình x3 – 3x + 1 = 0 có ba nghiệm x 1 , x 2, x 3 với -2 < x 1< 0 < x 2 < 1 < x 3 < 2 ba nghiệm của nó là x1 = − 2sin70o , x2 = 2sin10o , x3 = 2sin50o các bạn tự kiểm tra lại nhé!
Theo công thức Cac-na-đô ta có các nghiệm dưới dạng đại số của phương trình này là:
x=∛(-1/2+√(-3/4))+∛(-1/2-√(-3/4)) =∛(-1/2+√3/2 i)+∛(-1/2-√3/2 i)
Do ta không thể đưa được ∛(-1/2±√3/2 i) về dạng a ±bi với a,b ϵ R trong đó a,b là các biểu thức đại số chỉ gồm cac phép toán trên số thực, để rut gọn biểu thức nghiệm thành biểu thức không chứa đại lượng ảo i. Nên ta không thể nào làm mât được đại lượng ảo trong công thức nghiệm của phương trình đã cho.
Tóm lại ta không có cách gì để biểu diễn được các nghiệm này dưới dạng đại số nếu chỉ dùng 6 phép toán cơ bản là cộng (+), trừ (-), nhân (x), chia (/), lũy thừa (^) và khai căn (√) trên tập số thực R. Từ đó suy ra ta không thể nào giải được phương trình bậc ba x3 -3x + 1 = 0 bằng căn thức trên tập số thực. Điều này cũng có nghĩa rằng: Phương trình tổng quát bậc ba là không thể giải được bằng căn thức trên tập số thực R.Cũng tương tự như phương trình bậc hai là không thể giải được trên tập số hữu tỉ Q. Phương trình bậc năm là không thể giải được trên tập số phưc C.□
Ta biết rằng có thể giải được phương trình tổng quát bậc ba bằng căn thức bằng cách sử dụng số ảo. Tuy nhiên câu hỏi đặt ra là có thể giải được mọi phương trình bậc ba mà nghiệm của nó không chứa số ảo trong công thức không ? Câu trả lời là không thể ! Các bạn tìm hiểu vấn đề này qua bài toán sau:
Chứng minh : Không thể giải được phương trình tổng quát bậc ba bằng căn thức trên tập số thực R
Lời giải
Ta có phương trình bậc ba x3 -3x + 1 = 0 có ba nghiệm thực phân biệt và ta không thể nào biểu diễn dược các nghiệm thực này dưới dạng đại số mà không có chứa số ảo dưới căn.
Thật vậy với phương trình bậc ba x^3 – 3x + 1 = 0. Dễ thấy phương trình này có ba nghiệm thực phân biệt vì nếu đặt f(x) = x^3 – 3x + 1 thì ta có f(-2) = -1 < 0; f(0) = 1 > 0 ; f(1) = -1 < 0 ; f(2) = 3 > 0 nên phương trình x3 – 3x + 1 = 0 có ba nghiệm x 1 , x 2, x 3 với -2 < x 1< 0 < x 2 < 1 < x 3 < 2 ba nghiệm của nó là x1 = − 2sin70o , x2 = 2sin10o , x3 = 2sin50o các bạn tự kiểm tra lại nhé!
Theo công thức Cac-na-đô ta có các nghiệm dưới dạng đại số của phương trình này là:
x=∛(-1/2+√(-3/4))+∛(-1/2-√(-3/4)) =∛(-1/2+√3/2 i)+∛(-1/2-√3/2 i)
Do ta không thể đưa được ∛(-1/2±√3/2 i) về dạng a ±bi với a,b ϵ R trong đó a,b là các biểu thức đại số chỉ gồm cac phép toán trên số thực, để rut gọn biểu thức nghiệm thành biểu thức không chứa đại lượng ảo i. Nên ta không thể nào làm mât được đại lượng ảo trong công thức nghiệm của phương trình đã cho.
Tóm lại ta không có cách gì để biểu diễn được các nghiệm này dưới dạng đại số nếu chỉ dùng 6 phép toán cơ bản là cộng (+), trừ (-), nhân (x), chia (/), lũy thừa (^) và khai căn (√) trên tập số thực R. Từ đó suy ra ta không thể nào giải được phương trình bậc ba x3 -3x + 1 = 0 bằng căn thức trên tập số thực. Điều này cũng có nghĩa rằng: Phương trình tổng quát bậc ba là không thể giải được bằng căn thức trên tập số thực R.Cũng tương tự như phương trình bậc hai là không thể giải được trên tập số hữu tỉ Q. Phương trình bậc năm là không thể giải được trên tập số phưc C.□