Ta biết rằng với phương trình đại số tổng quat có bậc từ 5 trở lên là không thể giải được bằng căn đã được Évariste Galois chứng minh. Khi bài toán giải phương trình đại số đã được giải quyết tuyệt đẹp thì sau đó sẽ có những cách giải khac cho bài toán này. Sau đây là một trong những cách giải đó. Các bạn xem nhé !
TÍNH KHÔNG THỂ GIẢI CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 5
Trước hết ta chứng minh mọi phương trình đại số bậc 5 đều luôn có nghiệm thực x = xo nào đó.
Thật thế với phương trình bậc 5 sau f(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + h = 0.
Ta có lim(x→ -∞)(f(x) = a.lim(x→ -∞) (x5 )= a.(−∞)
lim(x→ +∞)(f(x) = a.lim(x→ +∞) (x5 )= a.(+∞)
→ lim(x→ -∞)(f(x).lim(x→ +∞)(f(x) = a.(−∞). a.(+∞) = a^2. (−∞) = (−∞) < 0
Như vậy khi x tiến ra xa vô cực khác nhau thì f(x) sẽ mang giá trị ngược dấu nhau. Nên sẽ có các điểm thuộc đồ thị f(x) nằm về hai phía đối nhau qua đường thẳng x = 0 khi điểm x dần ra xa vô cực.
Do hàm f(x) liên tục trên R. Nên đồ thị hàm f(x) sẽ phải cắt trục hoành tại điểm xo nào đó. Do đó luôn tồn tại nghiệm thực x = xo để cho f(xo) = 0
Giả sử phương trình bậc 5 trên ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + h = 0 là giải được và có nghiệm x = xo
Thế thì phương trình bậc 5 trên phải phân tích được thành tích hai nhân tử và có một nhân tử chứa nghiệm xo , có hai trường hợp sau xảy ra:
ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + h = (a2x2 + a1x + ao)(b3x3 + b2x2 + b1x + bo) = 0
hoặc ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + h = (kx + l)(mx4 + nx3 + px2 + qx + r ) = 0
Như vậy khi phân tích một phương trình bậc 5 thành tích hai nhân tử ta luôn thấy xuất hiện một nhân tử có bậc từ 3 trở lên.
Vì phương trình bậc 5 giải được nên nhân tử bậc 3, bậc 4 trong phương trình cũng phải giải được. Mà giải phương trình bậc 3, bậc 4 ta đã biết trong trường hợp tổng quát ta chỉ giải được chúng trên tập số phức C.
Do đó không giống như ở phương trình bậc 4 ta không thể tiếp tục phân tích được phương trình tổng quat bậc 5 thành tích hai nhân tử trên tập số phưc C.
Từ đó mà ta không thể giải được phương trình tổng quat bậc 5 bằng căn thức.
Thực ra thì phương trình tổng quat có bậc từ 3 trở lên là đã không thể giải được bằng căn thức ! (chứ không phải bậc 5 trở lên mới không giải được ?) nếu ta chỉ giải chúng trên tập các số thực R mà không sử dụng số ảo. Do không tồn tại công thức đại số cho nghiệm tổng quát của phương trình có bậc từ 3 trở lên trên tập số thực. (Công thức đại số nghiệm tổng quát là công thức tìm ra nghiệm của phương trình tổng quát mà chỉ dùng hữu hạn lần 6 phép toán cơ bản là cộng ( + ),trừ ( − ),nhân ( × ),chia (/), lũy thừa (^) và khai căn(√).
Ví dụ như phương trình bậc ba sau x3 – 3x + 1 = 0. Dễ thấy phương trình này có 3 nghiệm thực phân biệt vì nếu đặt f(x) = x3 – 3x + 1 thì ta có f(– 2) = – 1 < 0; f(0) = 1 > 0 ; f(1) = – 1 < 0 ; f(2) = 3 > 0 nên phương trình x3 – 3x + 1 = 0 có ba nghiệm x1, x2, x3 với – 2 < x1 < 0 < x2 < 1 < x3 < 2 ba nghiệm của nó là x1 = – 2sin70o ; x2 = 2sin10o ; x3 = 2sin50o các bạn tự kiểm tra lại nhé ! Tuy nhiên ta không có cách gì để biểu diễn được các nghiệm này dưới dạng đại số nếu chỉ dùng 6 phép toán cơ bản là cộng ( + ),trừ ( − ),nhân ( × ), chia (/), lũy thừa (^) và khai căn (√) trên tập số thực R.□
TÍNH KHÔNG THỂ GIẢI CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 5
Trước hết ta chứng minh mọi phương trình đại số bậc 5 đều luôn có nghiệm thực x = xo nào đó.
Thật thế với phương trình bậc 5 sau f(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + h = 0.
Ta có lim(x→ -∞)(f(x) = a.lim(x→ -∞) (x5 )= a.(−∞)
lim(x→ +∞)(f(x) = a.lim(x→ +∞) (x5 )= a.(+∞)
→ lim(x→ -∞)(f(x).lim(x→ +∞)(f(x) = a.(−∞). a.(+∞) = a^2. (−∞) = (−∞) < 0
Như vậy khi x tiến ra xa vô cực khác nhau thì f(x) sẽ mang giá trị ngược dấu nhau. Nên sẽ có các điểm thuộc đồ thị f(x) nằm về hai phía đối nhau qua đường thẳng x = 0 khi điểm x dần ra xa vô cực.
Do hàm f(x) liên tục trên R. Nên đồ thị hàm f(x) sẽ phải cắt trục hoành tại điểm xo nào đó. Do đó luôn tồn tại nghiệm thực x = xo để cho f(xo) = 0
Giả sử phương trình bậc 5 trên ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + h = 0 là giải được và có nghiệm x = xo
Thế thì phương trình bậc 5 trên phải phân tích được thành tích hai nhân tử và có một nhân tử chứa nghiệm xo , có hai trường hợp sau xảy ra:
ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + h = (a2x2 + a1x + ao)(b3x3 + b2x2 + b1x + bo) = 0
hoặc ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + h = (kx + l)(mx4 + nx3 + px2 + qx + r ) = 0
Như vậy khi phân tích một phương trình bậc 5 thành tích hai nhân tử ta luôn thấy xuất hiện một nhân tử có bậc từ 3 trở lên.
Vì phương trình bậc 5 giải được nên nhân tử bậc 3, bậc 4 trong phương trình cũng phải giải được. Mà giải phương trình bậc 3, bậc 4 ta đã biết trong trường hợp tổng quát ta chỉ giải được chúng trên tập số phức C.
Do đó không giống như ở phương trình bậc 4 ta không thể tiếp tục phân tích được phương trình tổng quat bậc 5 thành tích hai nhân tử trên tập số phưc C.
Từ đó mà ta không thể giải được phương trình tổng quat bậc 5 bằng căn thức.
Thực ra thì phương trình tổng quat có bậc từ 3 trở lên là đã không thể giải được bằng căn thức ! (chứ không phải bậc 5 trở lên mới không giải được ?) nếu ta chỉ giải chúng trên tập các số thực R mà không sử dụng số ảo. Do không tồn tại công thức đại số cho nghiệm tổng quát của phương trình có bậc từ 3 trở lên trên tập số thực. (Công thức đại số nghiệm tổng quát là công thức tìm ra nghiệm của phương trình tổng quát mà chỉ dùng hữu hạn lần 6 phép toán cơ bản là cộng ( + ),trừ ( − ),nhân ( × ),chia (/), lũy thừa (^) và khai căn(√).
Ví dụ như phương trình bậc ba sau x3 – 3x + 1 = 0. Dễ thấy phương trình này có 3 nghiệm thực phân biệt vì nếu đặt f(x) = x3 – 3x + 1 thì ta có f(– 2) = – 1 < 0; f(0) = 1 > 0 ; f(1) = – 1 < 0 ; f(2) = 3 > 0 nên phương trình x3 – 3x + 1 = 0 có ba nghiệm x1, x2, x3 với – 2 < x1 < 0 < x2 < 1 < x3 < 2 ba nghiệm của nó là x1 = – 2sin70o ; x2 = 2sin10o ; x3 = 2sin50o các bạn tự kiểm tra lại nhé ! Tuy nhiên ta không có cách gì để biểu diễn được các nghiệm này dưới dạng đại số nếu chỉ dùng 6 phép toán cơ bản là cộng ( + ),trừ ( − ),nhân ( × ), chia (/), lũy thừa (^) và khai căn (√) trên tập số thực R.□